CÁLCULO QUÂNTICO GRACELI.

SE FUNDAMENTA  DENTRO DE UM SISTEMA ONDE OCORREM  INFINITAS E INDETERMINADAS VARIAÇÕES UMS DENTRO DAS OUTRAS.

O CÁLCULO PROGRESSIMAL INFINITESIMAL GRACELI É UMA DELES.

A TEORIA GRACELI DA TRANSFORMAÇÃO QUÂNTICA NO SDCTIE GRACELI TRATA DOS ESTADOS FÍSICOS, DE ENERGIAS, QUÂNTICO, FENOMÊNICOS, TRANSICIONAIS DE GRACELI , E OUTROS CONFORME O SDCITE GRACELI.

OU SEJA, CONFORME AS ENERGIAS, ESTRUTURAS FÍSICAS E SEUS ESTADOS FÍSICOS E TRANSICIONAIS VARIAM CONFORME O SDCTIE GRACELI.

ISTO ENGLOBA TODOS OS FENÔMENOS FÍSICOS E QUÍMICO, BIOLOGIA MOLECULAR E QUÂNTICA, DENTRO DO SDCITE GRACELI.




VEJAMOS:




A TEMPERATURA QUE ALTERA AS VIBRAÇÕES E OS FLUXOS DAS ENERGIAS, DIMENSÕES E FENÔMENOS TAMBÉM ALTERA OS SPINS, MOMENTUNS, MOMENTUNS MAGNÉTICOS, E OUTROS.

CONDE COM ISTO SE TEM NOVOS NÚMEROS QUÂNTICO DE GRACELI [TEMPERATURA, VIBRAÇÕES, E FLUXOS VARIACIONAIS.]

ONDE SE FORMA UMA NOVA FÍSICA QUÂNTICA, DE CONDUTIVIDADE, ELÉTRICA,  MAGNÉTICA, ELETROMAGNÉTICA, MODELO PADRÃO, SIMETRIAS, DINÂMICAS, E MECÂNICAS.

COM AÇÃO E VARIAÇÕES SOBRE A QUÍMICA, A FÍSICA, RELATIVIDADES,  E OUTROS.


OU SEJA, UM SISTEMA GENERALIZADO VARIACIONAL SOBRE TODAS AS FÍSICAS, QUÍMICAS,E BIOLOGIA MOLECULAR, E SUAS RAMIFICAÇÕES.

sexta-feira, 21 de agosto de 2020

MECÂNICA TÉRMICA QUÂNTICA GRACELI, E GENERALIZADA [AMPLIADA PARA TODOS OS RAMOS DA FÍSICA, QUÍMICA, E BIOLOGIA MOLECULAR..

TEORIA VIBRACIONAL QUÂNTICA GRACELI.

CONFORME AUMENTA A TEMPERATURA, TAMBÉM APROXIMADAMENTE AUMENTA A DILATAÇÃO [CONFORME OS MATERIAIS DENTRO DO SISTEMA SDCTIE GRACELI] COM ISTO AUMENTA AS VIBRAÇÕES, SPINS, NÚMEROS QUÂNTICO DE GRACELI, ESTRUTURA ELETRÕNICA, E ESTADOS QUÂNTICO, COM ISTO SE TEM UM SISTEMA VARIACIONAL EM TODAS AS TEORIAS E PRINCÍPIOS, E FUNDAMENTOS  ENVOLVENDO MODELO ATÕMICO, QUÍMICA QUÂNTICA, E TODA A MECÂNICA QUÂNTICA, COMO E ENTRE TANTAS  TEORIAS COM A INCERTEZA, EXCLUSÃO, ÁTOMO DE BOHR E OUTROS,  EQUAÇÕES DA PRIMEIRA E SEGUNDA TEORIA QUÂNTICA, COOMO TAMBÉM TODA TEORIA ENVOLVENDO A TERCEIRA TEORIA QUANTICA SDCTIE GRACELI.


OU SEJA, SE TEM UMA TEORIA E MECÂNICA QUÂNTICA  VARIACIONAL CONFORME SE ENCONTRA EM ÍNDICES E TIPOS DE INTENSIDADES DE TEMPERATURA.


O MESMO ACONTECE PARA A ELETROSTÁTICA, ELETROMAGNETISMO, TEORIA DE PARTÍCULAS, GAUGE, SIMETRIAS, PARIDADES, MODELO PADRÃO TÉRMICO, E OUTROS.


VEJAMOS EM:

TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

X

 [ESTADO QUÂNTICO]

X

TODA FORMA DE FUNÇÃO E EQUAÇÃO EM:

Ondas estacionárias são ondas que possuem um padrão de vibração estacionário. Formam-se a partir de uma superposição de duas ondas idênticas mas em sentidos opostos, normalmente quando as ondas estão confinadas no espaço como ondas sonoras em um tubo fechado e ondas de uma corda com as extremidades fixas. Esse tipo de onda é caracterizado por pontos fixos de valor zero, chamados de nodos, e pontos de máximo também fixos, chamados de antinodos. São ondas resultantes da superposição de duas ondas de mesma frequência, mesma amplitude, mesmo comprimento de onda, mesma direção e sentidos opostos. ^[1]

Ondas Opostas[editar | editar código-fonte]

Uma onda estacionária em uma linha de transmissão é uma onda na qual a distribuição de corrente elétrica, tensão elétrica, ou campo elétrico é formado pela superposição de duas ondas de mesma frequência se propagando em sentidos opostos. O efeito é uma série de nodos (deslocamento zero) e antinodos (deslocamento máximo) em pontos fixos ao longo da linha de transmissão. Esta onda estacionária pode ser formada quando uma onda é transmitida a partir de uma extremidade da linha de transmissão e é refletida na outra extremidade por um casamento de impedâncias, ex., descontinuidade, como um circuito aberto ou um curto-circuito.^[2]

Na prática, perdas na linha de transmissão e outros componentes significa uma reflexão perfeita e uma onda estacionária pura nunca é gerada. O resultado é uma onda estacionária parcial, que é uma superposição de uma onda estacionária e uma outra onda. A forma de onda resultante é medida pela relação de ondas estacionárias (ROE).^[3]

Descrição Matemática[editar | editar código-fonte]

Quando há um movimento oscilatório harmônico simples, como por exemplo em uma corda, o deslocamento ${\displaystyle y_{n}(x,t)}$ de cada ponto da onda pode ser descrito pela equação:

${\displaystyle y_{n}(x,t)\;=\;A_{n}(x)\,\cos(\omega _{n}t+\delta _{n})\,}$

Sendo:

• A_n (x) a amplitude, que depende da posição x do elemento,
• ω a frequência angular (medida em radianos por segundo),
• δ_n a constante de fase,
• t é a variável tempo.

A função A_n (x) é a forma da onda quando a vibração tem seu deslocamento máximo e em seu n-ésimo modo pode ser definida por:

${\displaystyle A_{n}(x)\;=\;A_{n}\sin(k_{n}x)\,}$

Onde:

• k_n é o número de onda (definido por 2π/λ_n)

Utilizando ambas as equações podemos definir a função da onda em seu n-ésimo harmônico por:

${\displaystyle y_{n}(x,t)\;=\;A_{n}\sin(k_{n}x)\,\cos(\omega _{n}t+\delta _{n})\,}$

Presumindo que ambas as condições necessárias para que ocorra o movimento da onda estacionária sejam satisfeitas. São elas:

• Cada ponto da onda oscila em movimento harmônico simples ou permanece em repouso (nodo).
• O movimento de dois pontos da onda que não sejam nodos oscilam defasados em 180º ou em fase.^[1]

Onda mecânica é uma perturbação que se propaga em um meio material e que é governada pelas Leis de Newton. As ondas geralmente são categorizadas em dois tipos principais, as ondas mecânicas e as ondas eletromagnéticas. ^[1] Apesar de também serem consideradas ondas, as ondas de matéria, com as quais geralmente estamos menos familiarizados,^[2] muitas vezes são excluídas desta categoria, pois as ondas são, frequentemente definidas como transmissão de energia sem transmissão de matéria.^[3]

As ondas mecânicas, como indica a sua definição, não se propagam no vácuo. As ondas mecânicas possuem compressão e rarefação.

Características[editar | editar código-fonte]

Quando uma onda mecânica se propaga há um transporte de energia cinética e potencial.^[3] A velocidade de propagação da onda mecânica depende da densidade e elasticidade do meio.^[4]

Todas as ondas mecânicas precisam de:

• Alguma origem de perturbação. Este agente transferirá energia para o meio;
• Um meio;
• Um mecanismo físico para que as partículas do meio influenciem umas as outras. ^[1]

As ondas mecânicas possuem diversas características mensuráveis que podemos analisar fisicamente.

Consideremos o exemplo de uma corda esticada onde seguramos uma extremidade com a outra presa. Ao balançar a extremidade livre fazendo um movimento para cima seguido de um movimento de volta a posição original, geramos uma perturbação isolada, que chamamos pulso. Como o movimento da onda (que corre ao longo da corda) é perpendicular ao movimento dos pontos da corda (que sobem e descem), esse é um exemplo de onda transversal.^[1] Os pulsos, porém, se apresentam em todos os tipos de onda. Seguindo o exemplo, se esse movimento que originou o pulso é contínuo e se estende para baixo da corda temos uma emissão contínua de pulsos, que formam um trem de ondas que chamamos de onda periódica.^[3]

Amplitude e comprimento de onda[editar | editar código-fonte]

A altura máxima que esse pulso atinge em relação a corda em repouso é chamada amplitude. Em uma onda periódica, podemos medir a distância entre um pulso para cima da corda e outro, onde essa onda iniciaria sua repetição, ou seja, um ciclo completo da onda. Essa distância chamamos de comprimento de onda.^[5] Ambas essas medidas são comprimentos, podemos então descrevê-las, pelo SI, em metros.^[6]

Período e frequência[editar | editar código-fonte]

O tempo que um comprimento de onda passa por um referencial, chamamos período. E a frequência é a determinação de quantos ciclos completos ocorrem em dado intervalo de tempo fixo.^[5] No SI, o período é dado em segundos e a frequência é dada em hertz.^[6]

${\displaystyle f={\frac {1}{T}}}$

onde:

• f é a frequência
• T é o período

Onda mecânica é uma perturbação que se propaga em um meio material e que é governada pelas Leis de Newton. As ondas geralmente são categorizadas em dois tipos principais, as ondas mecânicas e as ondas eletromagnéticas. ^[1] Apesar de também serem consideradas ondas, as ondas de matéria, com as quais geralmente estamos menos familiarizados,^[2] muitas vezes são excluídas desta categoria, pois as ondas são, frequentemente definidas como transmissão de energia sem transmissão de matéria.^[3]

As ondas mecânicas, como indica a sua definição, não se propagam no vácuo. As ondas mecânicas possuem compressão e rarefação.

Características[editar | editar código-fonte]

Quando uma onda mecânica se propaga há um transporte de energia cinética e potencial.^[3] A velocidade de propagação da onda mecânica depende da densidade e elasticidade do meio.^[4]

Todas as ondas mecânicas precisam de:

• Alguma origem de perturbação. Este agente transferirá energia para o meio;
• Um meio;
• Um mecanismo físico para que as partículas do meio influenciem umas as outras. ^[1]

As ondas mecânicas possuem diversas características mensuráveis que podemos analisar fisicamente.

Consideremos o exemplo de uma corda esticada onde seguramos uma extremidade com a outra presa. Ao balançar a extremidade livre fazendo um movimento para cima seguido de um movimento de volta a posição original, geramos uma perturbação isolada, que chamamos pulso. Como o movimento da onda (que corre ao longo da corda) é perpendicular ao movimento dos pontos da corda (que sobem e descem), esse é um exemplo de onda transversal.^[1] Os pulsos, porém, se apresentam em todos os tipos de onda. Seguindo o exemplo, se esse movimento que originou o pulso é contínuo e se estende para baixo da corda temos uma emissão contínua de pulsos, que formam um trem de ondas que chamamos de onda periódica.^[3]

Amplitude e comprimento de onda[editar | editar código-fonte]

A altura máxima que esse pulso atinge em relação a corda em repouso é chamada amplitude. Em uma onda periódica, podemos medir a distância entre um pulso para cima da corda e outro, onde essa onda iniciaria sua repetição, ou seja, um ciclo completo da onda. Essa distância chamamos de comprimento de onda.^[5] Ambas essas medidas são comprimentos, podemos então descrevê-las, pelo SI, em metros.^[6]

Período e frequência[editar | editar código-fonte]

O tempo que um comprimento de onda passa por um referencial, chamamos período. E a frequência é a determinação de quantos ciclos completos ocorrem em dado intervalo de tempo fixo.^[5] No SI, o período é dado em segundos e a frequência é dada em hertz.^[6]

${\displaystyle f={\frac {1}{T}}}$

onde:

• f é a frequência
• T é o período

A radiação eletromagnética é uma oscilação em fase dos campos elétricos e magnéticos, que, autossustentando-se, encontram-se desacoplados das cargas elétricas que lhe deram origem. As oscilações dos campos magnéticos e elétricos são perpendiculares entre si e podem ser entendidas como a propagação de uma onda transversal, cujas oscilações são perpendiculares à direção do movimento da onda (como as ondas da superfície de uma lâmina de água), que pode se deslocar através do vácuo. Dentro do ponto de vista da Mecânica Quântica, podem ser entendidas, ainda, como o deslocamento de pequenas partículas, os fótons.

O espectro visível, ou simplesmente luz visível, é apenas uma pequena parte de todo o espectro da radiação eletromagnética possível, que vai desde as ondas de rádio aos raios gama. A existência de ondas eletromagnéticas foi prevista por James Clerk Maxwell e confirmada experimentalmente por Heinrich Hertz. A radiação eletromagnética encontra aplicações como a radiotransmissão, seu emprego no aquecimento de alimentos (fornos de micro-ondas), em lasers para corte de materiais ou mesmo na simples lâmpada incandescente.

A radiação eletromagnética pode ser classificada de acordo com a frequência da onda, em ordem crescente, nas seguintes faixas: ondas de rádio, micro-ondas, radiação terahertz, radiação infravermelha, luz visível, radiação ultravioleta, raios X e radiação gama.

Ondas eletromagnéticas[editar | editar código-fonte]

Representação esquemática de uma onda eletromagnética linearmente polarizada produzida por um dipolo elétrico oscilante (à esquerda). A onda se propaga ao longo do eixo horizontal com comprimento de onda λ (ao centro). O campo elétrico, o campo magnético e o vetor de onda são representados, respectivamente, em azul, vermelho e preto (à direita).

As ondas eletromagnéticas primeiramente foram previstas teoricamente por James Clerk Maxwell e depois confirmadas experimentalmente por Heinrich Hertz. Maxwell notou as ondas a partir de equações de electricidade e magnetismo, revelando sua natureza e sua simetria. Faraday mostrou que um campo magnético variável no tempo gera um campo eléctrico. Maxwell mostrou que um campo eléctrico variável com o tempo gera um campo magnético, com isso há uma autossustentação entre os campos eléctrico e magnético. Em seu trabalho de 1862, Maxwell escreveu:

"A velocidade das ondas transversais em nosso meio hipotético, calculada a partir dos experimentos electromagnéticos dos Srs. Kohrausch e Weber, concorda tão exactamente com a velocidade da luz, calculada pelos experimentos óticos do Sr. Fizeau, que é difícil evitar a inferência de que a luz consiste nas ondulações transversais do mesmo meio que é a causa dos fenômenos eléctricos e magnéticos."^{[carece de fontes]}

Ondas harmônicas[editar | editar código-fonte]

Uma onda harmônica é uma onda com a forma de uma função senoidal, como na figura , no caso de uma onda que se desloca no sentido positivo do eixo dos ${\displaystyle x}$.

A distância ${\displaystyle \lambda }$ entre dois pontos consecutivos onde o campo e a sua derivada têm o mesmo valor, é designada por comprimento de onda (por exemplo, a distância entre dois máximos ou mínimos consecutivos). O valor máximo do módulo do campo, ${\displaystyle E_{0}}$, é a sua amplitude.

Onda Harmônica

O tempo que a onda demora a percorrer um comprimento de onda designa-se por {período}, ${\displaystyle T}$.

O inverso do período é a frequência ${\displaystyle f=1/T}$, que indica o número de comprimentos de onda que passam por um ponto, por unidade de tempo. No sistema SI a unidade da frequência é o hertz, representado pelo símbolo Hz, equivalente a ${\displaystyle s^{-1}}$.

No caso de uma onda eletromagnética no vácuo, a velocidade de propagação é ${\displaystyle c}$ que deverá verificar a relação:

${\displaystyle c={\frac {\lambda }{T}}=\lambda \,f}$

A equação da função representada na figura acima é:

${\displaystyle E(x)=E_{\text{máx}}\,\sin(2\,\pi \,{\frac {x}{\lambda }}+\varphi )}$

onde a constante ${\displaystyle \varphi }$ é a fase inicial. Essa função representa a forma da onda num instante inicial, que podemos admitir ${\displaystyle t=0}$.

Para obter a função de onda num instante diferente, teremos que substituir ${\displaystyle x}$ por ${\displaystyle x-c\,t}$, já que a onda se propaga no sentido positivo do eixo dos ${\displaystyle x}$, com velocidade ${\displaystyle c}$.

${\displaystyle E(x,t)=E_{\text{máx}}\,\sin {\Bigg [}{\frac {2\,\pi }{\lambda }}\,(x-c\,t)+\varphi {\Bigg ]}}$

usando a relação entre a velocidade e o período, podemos escrever:

${\displaystyle E(x,t)=E_{\text{máx}}\,\sin {\Bigg (}2\,\pi {\Bigg (}{\frac {x}{\lambda }}-{\frac {t}{T}}{\Bigg )}+\varphi {\Bigg )}}$

Se substituirmos ${\displaystyle x=0}$, obteremos a equação que descreve o campo elétrico na origem, em função do tempo:

${\displaystyle E(x)=-E_{\text{máx}}\,\sin {\Bigg (}2\,\pi \,{\frac {t}{T}}+\varphi {\Bigg )}}$

assim, o campo na origem é uma função sinusoidal com período ${\displaystyle T}$ e amplitude ${\displaystyle E_{\text{máx}}}$. O campo em outros pontos tem exatamente a mesma forma sinusoidal, mas com diferentes valores da fase.^[1]

Ondas longitudinais, também conhecidas como "ondas-l", são ondas que possuem a mesma direção de vibração de sua direção de trajetória, o que significa que o movimento do meio ocorre na mesma direção do movimento da onda. Ondas longitudinais mecânicas são também chamadas de ondas compressionais ou ondas de compressão.

Índice

• 1Ondas mecânicas
  • 1.1Ondas sonoras
  • 1.2Ondas de pressão
• 2Ondas eletromagnéticas
• 3Referências
• 4Bibliografia
• 5Ligações externas

Ondas mecânicas[editar | editar código-fonte]

Representação da propagação de um pulso de onda omnidirecional em uma grade bidimensional.

Ondas longitudinais incluem ondas sonoras (vibrações na pressão, desprendimento de partículas, e velocidade de partícula propagada em um meio elástico) e ondas sísmicas (criadas por terremotos e explosões). Nesse tipo de onda, o deslocamento do meio é paralelo à propagação da onda.

Ondas sonoras[editar | editar código-fonte]

No caso de onda sonora longitudinal harmônica, a frequência e o comprimento de onda podem ser descritos através da fórmula

${\displaystyle y(x,t)=y_{0}\cos {\Bigg (}\omega \left(t-{\frac {x}{c}}\right){\Bigg )}}$

onde:

• y é o deslocamento do ponto na onda sonora;
• x é a distância que o ponto se deslocou da origem da onda;
• t é o tempo decorrido;
• y₀ é a amplitude das oscilações;
• c é a velocidade da onda; e
• ω é a frequência angular da onda.

A quantidade x/c é o tempo necessário para a onde viajar tal distância x.

A frequência ordinária (f) da onda é dada por

${\displaystyle f={\frac {\omega }{2\pi }}.}$

Para ondas sonoras, a amplitude da onda é a diferença de pressão entre o ar não perturbado e a maior pressão causada pela mesma.

A velocidade de propagação dependende do tipo, temperatura e composição do meio onde a mesma se propaga.

Ondas de pressão[editar | editar código-fonte]

Em um meio elástico rígido, a oscilação harmônica de uma onda de pressão tem a forma

${\displaystyle y(x,t)\,=y_{0}\cos(kx-\omega t+\varphi )}$

onde:

• y₀ é a amplitude do deslocamento;
• k é o número de onda;
• x é a distância ao longo do eixo de propagação;
• ω é a frequência angular;
• t é o tempo decorrido; e
• φ é a defasagem.

Em física, uma relação de dispersão expressa a relação existente entre as frequências ${\displaystyle f}$ e o comprimentos de onda ${\displaystyle \lambda }$, ou, de forma equivalente,^[1] entre as frequências ${\displaystyle f}$ e as velocidades ${\displaystyle v}$, atrelada a entes físicos de natureza ondulatória (fases) propagando-se em um dado meio material ou mesmo no vácuo. Geralmente traduz-se mediante uma função ou um gráfico de frequência X comprimento de onda - ou de frequência x velocidade - e quase sempre mostra-se bem dependente do meio de propagação, caracterizando-o inclusive.

De forma similar mas não idêntica, um espectro discrimina a amplitude ou intensidade - o que traduz-se geralmente por quantidade de energia - das fases como função de suas respectivas frequências. Espectros e relações de dispersão encontram-se certamente relacionados, mas são por definição distintos.

Ótica[editar | editar código-fonte]

A relação de dispersão influi diretamente nas trajetórias de propagação de ondas quando há mudança do meio de propagação, visto que as relações de dispersão são geralmente diferentes nos diferentes meios de propagação e que as mudanças nas direções de propagação ocorrem justamente em virtude de mudanças nos comprimentos de onda quando ondas com uma dada frequência atravessam a interface entre os diferentes meios. A dependência destas variações nas direções de propagação com a as frequências ou comprimentos de onda explicam porque a luz branca é, através de um fenômeno ótico conhecido por refração, separada em suas várias cores (frequências) ao atravessar um prisma ou mesmo gotas de água. As relações de dispersão para a onda no ar e no vidro, ou no ar e na água são bem distintas: em ambos os casos as componentes das ondas são fisicamente separadas em função de suas frequências, cada qual sofrendo um maior ou menor desvio em sua trajetória ao mudarem de meio, o que dá origem por fim aos espectros e ao arco-iris.

A relação de dispersão é importante para entender como que a energia, o momento ou mesmo a matéria são transportados de um ponto a outro em qualquer meio. O interesse na relação de dispersão provavelmente começou com o interesse na dispersão de ondas na água, como por exemplo, demostrado por Pierre-Simon Laplace em 1776.^[2]

Mecânica[editar | editar código-fonte]

Em mecânica o termo relação de dispersão refere-se à relação - normalmente uma função - que estabelece a energia que um dado ente físico possui em função do momento que este transporta. Em partículas livres no domínio da física clássica - com massas de repouso não nulas e velocidades muito inferiores à da luz - a relação de dispersão é uma função quadrática do momento: ${\displaystyle E={\frac {{\vec {P}}^{2}}{2m}}}$. Esta relação aparece de forma explícita no hamiltoniano para o sistema em questão e conduz à expressão para a energia cinética: ${\displaystyle E_{c}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$ ao considerar-se que ${\displaystyle {\vec {P}}=m{\vec {V}}}$.

A relação acima vale no contexto da física clássica e para partículas completamente livres. Em situações mais específicas, como aquelas encontradas em física do estado sólido, a exemplo no estudo de elétrons confinados na estrutura dos cristais semicondutores, a relação de dispersão para as partículas - no caso os elétrons - pode mostrar-se dependente inclusive da direção de propagação das mesmos dentro do sistema. No caso do estudo dos cristais o momento para os elétrons dentro dos mesmos é definido de forma adequada à situação, sendo então denominado momento cristalino do elétron.

No âmbito da relatividade ou da mecânica quântica as expressões que definem o momento das partículas em estudo podem assumir formas também bem distintas da expressão clássica ${\displaystyle {\vec {P}}=m{\vec {v}}}$, o mesmo ocorrendo para as expressões da energia, mas em qualquer caso a relação entre o momento e a energia - ou seja, a relação de dispersão - mostra-se igualmente importante, sendo geralmente o cerne de qualquer teoria que busque estabelecer a dinâmica de matéria, energia e momento nos sistemas físicos sob seu domínio.

Em qualquer teoria dinâmica a relação de dispersão mostra-se fundamental, e a partir da mesma é que se define outras grandezas geralmente importantes ao estudo, como a massa.

A associação do termo "relação de dispersão" com a relação existente entre energia e momento para os entes físicos com massa de repouso (partículas massivas) decorre diretamente dos princípios estabelecidos por De Broglie e Max Planck no âmbito da física quântica. De Broglie trouxe à luz o fato de que partículas massivas têm comportamento ondulatório, onde seus comprimento de onda encontram-se relacionados aos seus momentos, ao passo que, sob a mesma ótica, Plank mostrou que a energias associadas às partículas quânticas encontram-se relacionadas às frequências das ondas a elas associadas. Estabelecer uma relação entre energia e momento é assim estabelecer uma relação entre frequência e comprimento de onda, ou seja, estabelecer uma relação de dispersão, mesmo para o caso de partículas massivas.

Relações de dispersão para o vácuo[editar | editar código-fonte]

Fato curioso e de relevância na mecânica quântica é que, ao passo que o vácuo é um meio não dispersivo para ondas eletromagnéticas (as assim chamadas velocidades de fase são iguais à velocidade de grupo em um pulso eletromagnético - todos com velocidades iguais à "c", a velocidade da luz), o vácuo é um meio dispersivo para ondas de matéria (funções de onda), a velocidade de fase dependendo do momento segundo a relação ^[3]:

${\displaystyle V_{\phi }={\frac {\hbar k}{(2m)}}={\frac {p}{2m}}}$ para partículas livres (ondas de matéria planas).

Repare que a velocidade (real) esperada para a partícula não é a velocidade de fase de uma onda plana de matéria (partícula livre), mas sim a velocidade de grupo das ondas que formam o pacote de ondas associado à partícula, a velocidade de grupo obedecendo relação bem mais similar à esperada classicamente:

${\displaystyle V_{g}={\frac {\hbar k}{m}}={\frac {p}{m}}}$

onde ${\displaystyle \hbar }$ é a constante reduzida de Planck, p é o módulo do momento e k o número de onda atrelados à partícula em questão.

 Nota: Para outros significados, veja Ressonância (desambiguação).

Mecânica clássica
Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração.
Cinemática[Expandir]
Dinâmica[Esconder] Força Inércia Produto de inércia Leis de Newton Primeira Lei de Newton Segunda Lei de Newton Terceira Lei de Newton Equações de movimento Ressonância
História[Expandir]
Trabalho e Mecânica[Expandir]
Sistema de partículas[Expandir]
Colisões[Expandir]
Movimento rotacional[Expandir]
Sistemas Clássicos[Expandir]
Formulações[Expandir]
Gravitação[Expandir]
Físicos[Expandir]
v d e

Oscilação forçada: quando a força externa é contínua e periódica e possui a mesma frequência da oscilação livre do sistema, haverá um efeito de ressonância que aumentará a amplitude do deslocamento do bloco.

Em física, ressonância é o fenômeno em que um sistema vibratório ou força externa conduz outro sistema a oscilar com maior amplitude em frequências específicas, conhecidas como frequências ressonantes ou frequências naturais do sistema. Nessas frequências, até mesmo forças periódicas pequenas podem produzir vibrações de grande amplitude, pois o sistema armazena energia vibracional.

Um oscilador harmônico simples possui uma frequência angular natural relacionada com as características do sistema em questão. Quando o oscilador harmônico simples está sujeito a uma força externa periódica e contínua, o denominamos de oscilador forçado. Dependendo da frequência dessa força, pode ocorrer efeito ressonante.

Interpretaremos em um primeiro momento a ressonância de maneira idealizada, ou seja, não levaremos em conta as perdas de energia ocasionadas por atrito, por exemplo. Então, de maneira simplificada, a ressonância ocorre em um sistema quando o mesmo está sujeito a uma força externa contínua e periódica cuja periodicidade está diretamente relacionada com a frequência natural do sistema. Nesse caso, o sistema produzirá grandes amplitudes.

Contudo, a realidade não é tão simples, existem algumas perdas de energia de período a período, a qual denominamos de amortecimento. Quando o amortecimento é pequeno, a frequência de ressonância do sistema é aproximadamente igual à frequência natural do sistema.

Os sistemas possuem múltiplas e distintas frequências de ressonância e esse fenômeno ocorre com todos os tipos de vibrações ou ondas; mecânicas (acústicas), eletromagnéticas, e funções de onda quântica. Sistemas ressonantes podem ser usados para gerar vibrações de uma frequência específica, ou para obter frequências específicas de uma vibração complexa contendo muitas frequências.

A ressonância foi descoberta por Galileu Galilei quando começou suas pesquisas com pêndulos e cordas musicais no começo de 1602. Outros acreditam que Pitágoras foi o pioneiro no assunto muito antes durante sua vida entre 570 - 495 anos a.C. especialmente na investigação sobre teorias musicais.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

• Ressonância mecânica;
• Ressonância elétrica;
• Ressonância óptica;
• Ressonância orbital em astronomia;
• Ressonância Molecular;
• Ressonância Acústica.

Oscilações forçadas[editar | editar código-fonte]

Com o intuito de apresentar uma base introdutória clara sobre ressonância, e para fins práticos, falaremos sobre ressonância no que concerne a perspectiva de osciladores harmônicos forçados. A ressonância elétrica possui a mesma equação que a ressonância em um sistema massa-mola, porém, com outras variáveis. Esse exemplo ilustra o fato de que a equação de ressonância é a mesma tanto para o caso elétrico, para o caso mecânico, quanto para os demais casos, a não ser pelas respectivas variáveis.^[1]

Descrição teórica da ressonância em oscilações forçadas[editar | editar código-fonte]

A criança no balanço constitui um caso de oscilação livre se ela não receber nenhum tipo de empurrão, caso contrário, constituiria um caso de oscilação forçada

Uma criança que se diverte em um balanço sem que ninguém a empurre constitui um exemplo de oscilação livre. Contudo, se a esse movimento for acrescentado uma força externa periódica, dizemos que a criança estará executando uma oscilação forçada, e dependendo da frequência da força a amplitude do movimento pode aumentar ou diminuir. Como veremos a seguir, a amplitude aumentará quando a frequência da força externa é a mesma da frequência natural do sistema. É o caso que aplicamos uma força externa periódica - empurramos a criança toda vez que o balanço se encontrar no máximo de altura (máxima energia potencial - com a mesma frequência do movimento livre.^[2]

A amplitude do oscilador forçado varia quando a frequência angular da força externa varia. Percebemos que a amplitude é máxima quando a razão entre a frequência angular natural do sistema e a frequência angular da força externa é um.

A um sistema que executa oscilações forçadas podemos associar duas frequências angulares (as relações matemáticas entre os termos físicos estão explicitados abaixo): uma delas está de acordo com a frequência angular das oscilações livres do sistema, ou seja, é a frequência natural do sistema adquirido a partir de uma perturbação curta; e a outra está associada com a frequência angular da força externa (contínua e periódica) que produz a oscilação forçada.^[2] Note que em um momento falamos sobre frequência angular natural e em outro apenas sobre frequência natural. Isso se deve pelo fato de que as duas grandezas estão relacionadas por uma constante ${\displaystyle {2\pi }}$, descritas a seguir:

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}}$

A amplitude do sistema de oscilação forçada ideal é máxima quando a frequência angular da força externa é igual à frequência angular natural do sistema. Essa situação caracteriza um caso de ressonância, na qual o sistema passa a oscilar com um amplitude crescente. Na verdade, como veremos na interpretação matemática, essa amplitude seria infinita. O sistema não atinge essa amplitude devido a alguns outros termos de atrito e resistência do material que não foram considerados.^[1]

Ressonância em ondas estacionárias

Para um sistema que sofre oscilação forçada com amortecimento (caso real), percebemos que o menor amortecimento está associado a um pico de ressonância mais alto. Esse caso está ilustrado no gráfico ao lado.

Apesar de termos usado o exemplo particular da criança no balanço como interpretação simplificada da ressonância, podemos generalizar as implicações para outros diversos casos em muitos campos diferentes, e também perceberíamos que as equações seriam as mesmas. Existem muitas situações na natureza na qual algo está oscilando e na qual o fenômeno de ressonância ocorre.^[1] Todas as estruturas mecânicas possuem uma ou mais frequências naturais de vibração. Se a estrutura é submetida a forças periódicas de mesma frequência ou próxima a frequência natural pode ocorrer o efeito de ressonância, de forma mais brusca ou não dependendo do amortecimento do sistema, e isso pode causar a ruptura da estrutura.^[2] Para efeitos de interpretação, a força externa poderia ser a força causada por um terremoto, nesse caso.

Descrição matemática da ressonância em oscilações forçadas[editar | editar código-fonte]

Requisitos[editar | editar código-fonte]

• 2ª Lei de Newton:

${\displaystyle F=ma=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}}$

• Lei de Hooke:

${\displaystyle F=-kx\,}$

• A frequência das oscilações será dada pela seguinte relação:

${\displaystyle \displaystyle f={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$

• Identidades:

${\displaystyle {\omega _{0}}}$ : frequência natural do sistema em questão; ${\displaystyle {\omega }}$ : frequência da força externa;

• Se definirmos ${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=k/m}$, então a a equação do oscilador harmônico simples poderá ser escrita do seguinte modo:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=0}$

• Solução homogênea da equação do oscilador harmônico simples:

${\displaystyle x(t)=C_{1}\sin {\omega _{0}t}+C_{2}\cos {\omega _{0}t}\,}$

Descrição matemática[editar | editar código-fonte]

A seguir discutiremos o oscilador harmônico forçado. A equação então é a seguinte:

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx+F_{e}}$

Sabemos que a solução da parte homogênea dessa equação diferencial, ou seja, a solução (usando ${\displaystyle \scriptstyle {\omega _{0}}^{2}=k/m}$) de:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=0}$

é:

${\displaystyle x_{H}(t)=C_{1}\sin {\omega _{0}t}+C_{2}\cos {\omega _{0}t}\,}$

Precisamos descobrir qual é a solução particular referente a força externa ${\displaystyle \scriptstyle F_{e}(t)}$.

A força externa pode ter diversos tipos de dependências funcionais com diferentes frequências. Tentaremos resolver a equação com uma força especial, uma força oscilante:

${\displaystyle F_{e}(t)=F_{0}\cos {\omega t}\,}$

Note que ${\displaystyle \scriptstyle {\omega }}$ não é necessariamente o mesmo que ${\displaystyle \scriptstyle {\omega _{0}}}$. Temos ${\displaystyle \scriptstyle {\omega }}$ sob o nosso controle; Então devemos resolver tal equação. Com conhecimento prévio de equações diferenciais percebemos que uma solução particular é do tipo:

${\displaystyle x_{P}(t)=C_{3}\cos {\omega t}\,}$ , onde a constante é para ser determinada.

Então jogamos essa solução ${\displaystyle \scriptstyle x_{P}(t)}$ na equação do oscilador harmônico forçado com ${\displaystyle \scriptstyle F_{e}(t)}$ explicito. Colocamos também ${\displaystyle \scriptstyle {\omega _{0}}^{2}m=k}$ e encontraremos:

${\displaystyle -m{\omega }^{2}C_{3}\cos {\omega t}\,=-m{\omega _{0}}^{2}C_{3}\cos {\omega t}\,+F_{0}\cos {\omega t}\,}$

Como o cosseno aparece em todos os lugares, podemos dividir a equação toda por ele e mostrar que a solução especial ${\displaystyle \scriptstyle x_{P}(t)=C_{3}\cos {\omega t}\,}$ é, de fato, uma solução, se escolhermos o ${\displaystyle \scriptstyle C_{3}}$ corretamente. A resposta é que ${\displaystyle \scriptstyle C_{3}}$ deve ser

Ressonância

${\displaystyle C_{3}=F_{0}/m({\omega _{0}}^{2}-{\omega }^{2})}$

Então a solução particular é:

${\displaystyle x_{P}(t)=F_{0}\cos({\omega t})\,/m({\omega _{0}}^{2}-{\omega }^{2})}$

De fato, a solução geral do oscilador harmônico forçado será a soma da solução particular com a solução da equação homogênea:

${\displaystyle x_{G}(t)=C_{1}\sin {\omega _{0}t}+C_{2}\cos {\omega _{0}t}\,+F_{0}\cos({\omega t})\,/m({\omega _{0}}^{2}-{\omega }^{2})}$

Notemos, então, que quando a frequência angular da força externa se aproxima do valor da frequência angular natural do sistema sob oscilação livre, teremos um fator periódico com uma amplitude que tende ao infinito. Sabemos que não existe nenhum sistema que chegaria a esse ponto, pois além dele se partir antes, existem outros termos de atrito e outras forças que não consideramos por fins práticos mas que acontecem no tempo real.^[1] Ao somarmos a solução particular com a solução do caso homogêneo, percebemos que existe a concordância com o Princípio da Superposição das Ondas. Podemos interpretar essa situação, em que o sistema não pode atingir uma amplitude infinita, pela perspectiva do Princípio da Superposição das Ondas: só pode existir a sobreposição de ondas até o momento que o sistema em questão permitir, ou seja, o quanto a estrutura do material suporta, por exemplo.^[2] De fato estamos interessados no resultado qualitativo de tal equação. Chegamos num resultado que está de acordo com a explicação teórica acima e que configura o efeito de ressonância.

Descrição matemática 2[editar | editar código-fonte]

Podemos, também, interpretar o caso de ressonância a partir de uma força externa periódica que já tenha a mesma frequência angular natural do sistema,^[3] o que é diferente do primeiro caso, no qual consideramos que a força externa não possuía a mesma frequência angular natural do sistema, mas que a fazíamos assumir o valor ao analisarmos a solução geral. Então, a partir dessa perspectiva, podemos considerar a força externa como:

${\displaystyle F_{e}(t)=F_{0}\cos {\omega _{0}t}\,}$

Assim, percebemos que existe uma similaridade dessa solução, com a solução que já conhecemos da parte homogênea que é:

${\displaystyle x_{H}(t)=C_{1}\sin {\omega _{0}t}+C_{2}\cos {\omega _{0}t}\,}$

Com o conhecimento de equações diferenciais é fácil perceber que a solução particular referente a força externa precisa ser da seguinte forma para produzirmos soluções linearmente independentes:

${\displaystyle \scriptstyle x_{P}(t)=C_{3}t\cos {\omega _{0}t}\,}$ , onde a constante é para ser determinada. Substituindo a equação da solução particular na equação do sistema, encontramos a seguinte constante referente a força externa:

${\displaystyle C_{3}=F_{0}t/2m{\omega _{0}}}$

Então, a solução geral é da forma:^[3]

${\displaystyle x_{H}(t)=C_{1}\sin {\omega _{0}t}+C_{2}\cos {\omega _{0}t}\,+F_{0}t\sin({\omega _{0}t}\,)/2m{\omega _{0}}}$

E, novamente, percebemos que a força externa passa a governar o sistema se se considerar tempos sucessivos, na qual a amplitude do termo periódico na solução geral, referente a força externa, só tende a aumentar com o decorrer do tempo. Chegamos, mais uma vez, num resultado que está de acordo com a explicação teórica acima e que configura o efeito de ressonância.

Em física, especialmente em mecânica clássica, um oscilador harmônico é um sistema que, quando deslocado de sua posição de equilíbrio, sofre uma força restauradora F proporcional ao deslocamento x:

${\displaystyle {\vec {F}}=-k{\vec {x}},}$ em que k é uma constante positiva.

Se F for a única força atuando no sistema, ele é denominado oscilador harmônico simples e estará sujeito a um movimento harmônico simples ( que se repete a intervalos regulares), constituído de oscilações senoidais em torno do ponto de equilíbrio, com amplitude e frequência constantes (sendo que a frequência independe da amplitude).

Caso haja também uma força de amortecimento proporcional à velocidade, o oscilador harmônico é descrito como um oscilador amortecido . O sistema pode, dependendo do coeficiente de amortecimento:

• Oscilar com frequência menor que em um oscilador não-amortecido e com uma amplitude decrescente com o tempo (amortecimento subcrítico)
• Decair para a posição de equilíbrio, sem oscilações (amortecimento supercrítico)
• Decair mais rapidamente que no caso supercrítico, sem oscilações (criticamente amortecido)

Se houver uma força externa, dependente do tempo, atuando sobre o sistema, o oscilador harmônico, é dito forçado.

Classificação[editar | editar código-fonte]

Segundo a Física clássica, bem como a Física quântica relativística pode ser classificado como:

1. oscilador harmônico simples (que não é forçado nem amortecido);
2. oscilador harmônico complexo, (que é forçado e/ou amortecido):
   1. oscilador harmônico apenas forçado; ou
   2. oscilador harmônico apenas amortecido; ou
   3. oscilador harmônico forçado e amortecido;

Considerar osciladores harmônicos complexos como osciladores harmônicos simples ideais, (em sua idealização físico matemática), representa ganhos em diversos aspectos. No entando, a rigor, cada tipo de oscilador requer um tratemento físico-matemático específico, como será visto abaixo.

Oscilador harmônico simples[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Oscilador harmônico simples

O oscilador harmônico simples consiste em um sistema que contém uma massa, sobre a qual atua uma força F , que empurra a massa em direção ao ponto x=0 (posição inicial), e que depende apenas, da posição, da massa e de uma constante ${\displaystyle k}$, o equilíbrio, segundo 2ª Lei de Newton, se dá por:

${\displaystyle F=ma=-kx\,}$

A aceleração a é igual a derivada segunda de x:

O diagrama à direita mostra um ponto (preto) girando em um círculo de raio A sobre a origem. O ângulo que ele faz com o eixo x a qualquer momento t é ωt, onde ω é sua velocidade angular em radianos por segundo. Sua projeção no eixo y (vermelho) mostra um movimento harmônico simples, dado por y (t) = Asin (ωt). O diagrama da esquerda mostra o movimento plotado como uma função de ωt.

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx}$

Se definirmos ${\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=k/m}$, então a solução poderá ser escrita do seguinte modo:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\omega _{0}}^{2}x=0}$

Podemos observar que:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}={\ddot {x}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\dot {x}}}$

Substituindo:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\dot {x}}}{\mathrm {d} x}}{\dot {x}}+{\omega _{0}}^{2}x=0}$

${\displaystyle \mathrm {d} {\dot {x}}\cdot {\dot {x}}+{\omega _{0}}^{2}x\cdot \mathrm {d} x=0}$

Integrando:

${\displaystyle {\dot {x}}^{2}+{\omega _{0}}^{2}x^{2}=K}$

onde K é uma constante, dado K = (A ω₀)²

${\displaystyle {\dot {x}}^{2}=A^{2}{\omega _{0}}^{2}-{\omega _{0}}^{2}x^{2}}$

${\displaystyle {\dot {x}}=\pm {\omega _{0}}{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\pm {\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}}={\omega _{0}}\mathrm {d} t}$

Integrando dos dois lados (sendo φ a contante resultante da integração) teremos:

${\displaystyle {\begin{cases}\arcsin {\frac {x}{A}}=\omega _{0}t+\phi \\\arccos {\frac {x}{A}}=\omega _{0}t+\phi \end{cases}}}$

E assim teremos a solução geral para x :

${\displaystyle x=A\cos {(\omega _{0}t+\phi )}\,}$

Sendo que a amplitude ${\displaystyle A\,}$ e a fase inicial ${\displaystyle \phi \,}$ serão determinadas através das condições iniciais.

Do mesmo modo poderíamos escrever:

${\displaystyle x=A\sin {(\omega _{0}t+\phi )}\,}$

Entretanto agora ${\displaystyle \phi \,}$ está deslocado ${\displaystyle \pi /2\,}$ em relação a forma anterior.

Ou senão podemos escrever também:

${\displaystyle x=A\sin {\omega _{0}t}+B\cos {\omega _{0}t}\,}$

já que a que a soma de soluções de uma equação diferencial também é solução para a equação diferencial.

A frequência das oscilações será dada pela seguinte fórmula:

${\displaystyle \displaystyle f={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$

Portanto, em suma, o movimento é periódico, repetindo-se de forma s com amplitude constante A. Além de sua amplitude, o movimento de um oscilador harmônico simples é caracterizado por seu período ${\displaystyle T=2\pi /\omega }$, o tempo para uma única oscilação ou sua freqüência,${\displaystyle \displaystyle f=1/T}$, o número de ciclos por unidade de tempo. A posição em um determinado tempo t também depende da fase ${\displaystyle \phi }$, que determina o ponto inicial da onda senoidal. O período e a frequência são determinados pelo tamanho da massa me pela constante de força k, enquanto a amplitude e a fase são determinadas pelas condições iniciais.

Oscilador harmônico amortecido[editar | editar código-fonte]

Comportamento do sistema amortecido em razão de γ

Um oscilador harmônico amortecido, que perde velocidade devido ao atrito

Outro oscilador harmônico amortecido

As oscilações harmônicas simples ocorrem em sistemas conservativos. No entanto, na prática sempre existe dissipação de energia. Assim, no caso de um pêndulo, as oscilações se amortecem devido à resistência do ar. As oscilações de um líquido em um tubo em U se amortecem devido à viscosidade do líquido. As vibrações de um diapasão produzem um som audível porque são comunicadas ao ar, gerando ondas sonoras. A energia utilizada para isto provém do oscilador, dando origem a amortecimento por emissão de radiação sonora. ^[1]

Como já conhecido, a resistência de um fluido, como o ar, ao deslocamento de um obstáculo, é proporcional à velocidade para velocidades suficientemente pequenas, o que se aplica a pequenas oscilações. ^[1] Portanto, quando o movimento de um oscilador é reduzido por uma força externa, dizemos que o oscilador e seu movimento são amortecidos. Em muitos sistemas que vibram a força de atrito Fa pode ser modelada como sendo proporcional à velocidade v do objeto: F_a = −bv, onde b é uma constante de amortecimento.^[2]

O equilíbrio de forças (Segunda lei de Newton) para osciladores harmônicos é, então,

${\displaystyle F=-bv-kx=-b{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}-kx}$

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx-b{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {\mathrm {} b}{\mathrm {} m}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {} k}{\mathrm {} m}}x=0}$

Dessa forma, a equação de um oscilador amortecido pode ser reescrita :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+\gamma {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{\,2}x=0,}$ onde

${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ é chamada de frequência natural do sistema, e

${\displaystyle \gamma ={\frac {b}{m}}}$ é chamado de coeficiente de amortecimento.

A solução desta equação é dada pela amplitude em função do tempo, e pode ser escrita como:

${\displaystyle x(t)=Ae^{\frac {-\gamma t}{2}}\cos(\omega t+\phi )}$

Podemos considerar a equação acima como uma função cosseno, cuja amplitude diminui gradualmente em função do tempo.^[2]

A velocidade angular do oscilador harmônico amortecido depende da frequência natural e é dada por :

${\displaystyle \omega ^{2}=\omega _{0}^{2}-{\frac {\gamma ^{2}}{4}}}$, onde

${\displaystyle \omega =2\pi f}$, com ' f ' sendo o inverso do período de oscilação.

Em termos de energia, para um oscilador não amortecido, esta é constante. Se o oscilador é amortecido, a energia mecânica não é constante e diminui com o tempo.^[2]
O cálculo da energia mecânica pode ser feito utilizando a seguinte expressão:

${\displaystyle E(t)={\frac {1}{2}}kA^{2}e^{-\gamma t}{}}$

Casos de amortecimento[editar | editar código-fonte]

O valor da frequência natural ${\displaystyle \omega _{0}}$ determina criticamente o comportamento do sistema. Nesse sentido, um oscilador harmônico amortecido pode ser:

• Supercrítico (ω ₀ < ${\displaystyle {\frac {\gamma }{2}}}$): O sistema retorna (decai exponencialmente) para o estado estável sem oscilar. Neste caso, aparecerá na frequência final um termo real de forma que a oscilação não mais existirá (seno ou cossenos hiperbólicos). ^[3]

• Criticamente amortecido (ω ₀ ≈ ${\displaystyle {\frac {\gamma }{2}}}$): O sistema retorna para o estado estável tão rapidamente quanto possível sem oscilar. Isto é frequentemente desejado para o amortecimento de sistemas como os de portas. Outra aplicação para este tipo de amortecimento é o uso de balanças, onde ao ser efetuada uma pesagem, espera-se que a leitura estabilize-se no menor tempo possível ao invés de ficar oscilando por um longo período.^[4]

• Subamortecido (ω ₀ > ${\displaystyle {\frac {\gamma }{2}}}$): O sistema oscila (com uma freqüência levemente diferente que o do caso não amortecido) com a amplitude gradualmente decrescendo a zero. Neste caso, a solução de seno ou cosseno escrita em números complexos possui um expoente imaginário. ^[3]

Oscilador harmônico forçado[editar | editar código-fonte]

Até aqui, foi considerado apenas oscilações livres, em que o oscilador recebe uma certa energia inicial (através de seu deslocamento e velocidade iniciais) e depois é solto, evoluindo livremente. O período de oscilação é determinado pela própria natureza do oscilador, ou seja, por sua inércia e pelas forças restauradoras que atuam sobre ele. A oscilação é amortecida pelas forças dissipativas atuantes. ^[1]

Agora, será estudado o efeito produzido sobre o oscilador por uma força externa periódica. O período desta força não coincidirá com o período próprio do oscilador, de modo que as oscilações por ela produzidas chamam-se oscilações forçadas.^[1] Portanto, para manter as oscilações num sistema harmônico amortecido é preciso fornecer energia ao sistema. Diz-se então que o sistema está sendo forçado ou excitado, como por exemplo em um circuito RLC (resistor-indutor-capacitor), ou então, as oscilações de uma pessoa sentada num balanço sob a ação de empurrões periódicos.^[2][5]

A força atuante sobre o sistema é uma força diretriz, de variação com o tempo e é da forma:

${\displaystyle F=F_{max}\cos(\omega _{e}t)}$, onde ${\displaystyle F_{max}}$ é o módulo máximo da força e ${\displaystyle \omega _{e}}$ é a frequência angular da força diretriz.

A força resultante será a soma das forças diretriz periódica, restauradora elástica e de atrito. Logo, pela Segunda Lei de Newton:

${\displaystyle F-kx-bv=ma}$

${\displaystyle F-kx-b{\frac {dx}{dt}}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$

Que usualmente é reescrita na forma:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\gamma {\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {F}{m}}}$

Vale ressaltar que ${\displaystyle \omega _{e}}$é diferente de ${\displaystyle \omega _{0}}$. O oscilador oscila com a frequência da força aplicada ( ${\displaystyle \omega _{e}}$) e não com sua frequência natural ( ${\displaystyle \omega _{0}}$).^[6]

A solução desta equação é obtida pela soma de duas funções: a primeira (X_H), que corresponde a qualquer um dos casos discutidos do movimento harmônico amortecido, só existe no início do movimento. Já a segunda função (X_NH) permanece durante todo o movimento.^[6]

Portanto:

${\displaystyle X=X_{H}+X_{NH}}$

${\displaystyle x(t)=Ae^{\frac {-\gamma t}{2}}\cos(\omega t+\phi )+{\frac {F_{max}\cos(\omega _{e}t)}{m(\omega _{e}^{2}-\omega ^{2})}}}$

Ressonância[editar | editar código-fonte]

No caso particular em que não há amortecimento (b=0) e a frequência diretriz é equivalente à frequência natural do sistema ( ${\displaystyle \omega _{e}\simeq \omega }$), a amplitude tende ao infinito. A esse fenômeno é atribuído o nome de ressonância.^[6] Alguns exemplos de aplicação e ocorrência de ressonância estão listados abaixo:

• Marcha sobre pontes: Um dos efeitos catastróficos produzidos pela ressonância é o desabamento de pontes que entram em ressonância com a marcha cadenciada de uma tropa de soldados ao atravessá-las.^[1]

• Taças de cristal: Cantores de ópera conseguem quebrar um cálice com o poder de suas vozes, ao induzirem vibrações muito fortes. Sons emitidos por órgãos e flautins são capazes de quebrar janelas.^[4]
• Colapso da Ponte de Tacoma (USA - 1940): O fenômeno da ressonância desempenha um papel importante no projeto de sistemas mecânicos, nos quais há forças vibratórias, pois as grandes amplitudes previstas podem ocasionar uma ruptura do sistema. Neste caso, a força externa apareceu em decorrência da má aerodinâmica da ponte.^[4]
• Queda de aviões comerciais (1959-1960): Um avião comercial ultrapassou uma velocidade crítica provocando trepidação excessiva da hélice e do motor; essa vibração foi transferida para a asa, que já apresentava seu próprio movimento oscilatório de modo que a amplitude de movimento foi tamanha que a asa partiu-se.^[4]
• Tuned mass damper: Um amortecedor de massa sintonizado, também conhecido como absorvedor harmônico ou amortecedor sísmico, é um dispositivo montado em estruturas para reduzir a amplitude das vibrações mecânicas. Sua aplicação pode evitar desconforto, danos ou falha estrutural direta. Eles são freqüentemente usados ​​em transmissão de energia, automóveis e edifícios.^[3]

Análise do oscilador harmônico amortecido pela Transformada de Laplace[editar | editar código-fonte]

O oscilador harmônico é um sistema que pode ser resolvido de diversas maneiras e uma delas é por meio da Transformada de Laplace^[7]. A equação que define o movimento é obtida a partir da segunda lei de Newton:

${\displaystyle m{\vec {a}}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {F_{i}}}}$

onde a = ${\displaystyle y''}$ é a aceleração e ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\vec {F_{i}}}}$ representa o somatório de todas as forças presentes.

As forças envolvidas são a força da mola F1 = ${\displaystyle -ky}$ e a força de atrito F2 = ${\displaystyle -uy'}$. Os termos ${\displaystyle k,u}$ e ${\displaystyle y'}$ representam a constante da mola, a constante de amortecimento e a velocidade do corpo preso a sua extremidade, respectivamente. Ao representar as forças no sistema na segunda lei de newton, obtemos:

${\displaystyle my''(t)=F1+F2=-ky(t)-uy'(t)}$

ou seja,

${\displaystyle my''(t)+ky(t)+uy'(t)=0}$

Condições iniciais são definidas para o sistema:

${\displaystyle y(0)=0}$

${\displaystyle y'(0)=0}$

A transformada de Laplace é aplicada para calcular ${\displaystyle y(t)}$:

${\displaystyle m}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{y''(t)}\right\}}$ + ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{y'(t)}\right\}}$ + ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{y(t)}\right\}}$ = 0

Aplicando as propriedades de Laplace, a equação resultante é:

${\displaystyle Y(s)={\frac {msy(0)+my'(0)+uy(0)}{ms^{2}+us+k}},}$

Para obter a expressão de ${\displaystyle y(t)}$ é necessário aplicar a transformada inversa:

${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{{\frac {msy(0)+my'(0)+uy(0)}{ms^{2}+us+k}}}$}